{"id":6064,"date":"2021-06-06T15:12:12","date_gmt":"2021-06-06T15:12:12","guid":{"rendered":"http:\/\/desres20.netornot.at\/?p=6064"},"modified":"2021-06-06T15:12:12","modified_gmt":"2021-06-06T15:12:12","slug":"logistische-gleichungen-auf-musik-und-instrumente-anwendbar","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/desres20.netornot.at\/?p=6064","title":{"rendered":"Logistische Gleichungen (auf Musik und Instrumente anwendbar)"},"content":{"rendered":"\n

Feigenbaumdiagramm<\/h3>\n\n\n\n

Das Feigenbaumdiagramm leitet sich aus der logistischen Gleichung ab und bildet eine Periodenverdopplungsbifurkation ab. Bei kleinen Parameterwerten existiert nur ein stabiler Fixpunkt, der am ersten Bifurkationspunkt in einen Orbit aus zwei alternierenden Fixpunkten \u00fcbergeht. Dieser Orbit verdoppelt dann an weiteren Bifurkationspunkten jedes Mal wieder seine Periode (kommt also erst nach 2, 4, 8, etc. Durchl\u00e4ufen wieder an den gleichen Punkt), bis er bei einem Parameterwert von etwa 3,57 in einen chaotischen Zustand \u00fcbergeht, wo \u00fcberhaupt keine Periode mehr erkennbar ist. Die Abbildung ist durch diese Darstellung gut als solche zu untersuchen, nicht jedoch um die Dynamik bei einem bestimmten r darzustellen. Man erh\u00e4lt ein Feigenbaumdiagramm in dem man die Werte f\u00fcr gro\u00dfe n (z.B. x600<\/sub> bis x900<\/sub>) in Abh\u00e4ngigkeit der r-Werte eintr\u00e4gt. Es stellt dann den Endzustand der Orbits dar, die sich an die Attraktoren angen\u00e4hert haben.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Abb. 5: Feigenbaum \u2013 Diagramm<\/em><\/p>\n\n\n\n

Deterministisches Chaos<\/span><\/a><\/h3>\n\n\n\n

Deterministisches Chaos ist das zuf\u00e4llig erscheinende Verhalten von dynamischen Systemen, welches vorherbestimmten Regeln folgt. Dabei wird das chaotische Verhalten jedoch nicht durch \u00e4u\u00dfere Umst\u00e4nde oder St\u00f6rungen verursacht, sondern folgt aus dem Verhalten des Systems. Der chaotische Zustand ist nicht reproduzierbar, trotz deterministischer Dynamik. Das hei\u00dft f\u00fcr chaotische Systeme f\u00fchren langfristig \u00e4hnliche Startbedingungen nicht zu \u00e4hnlichen Wirkungen, obwohl die Folgewerte der Funktion eindeutig berechenbar sind. Das Problem ist, das in Experimenten eigentlich von einem schwachen Kausalit\u00e4tsprinzip ausgegangen, indem gleiche Ursachen auch die gleiche Wirkung haben. Da aber in einem Experiment unter realen Bedingungen nie alle Ausgangsbedingungen gleich sind, geht man von einem starken Kausalit\u00e4tsprinzip aus, welches besagt: \u00c4hnliche Ursachen haben \u00e4hnlich Wirkung. Das dadurch auch nicht jedes Experiment belegt werden kann, zeigt dieses Beispiel. Daher geht man von verletzter starker Kausalit\u00e4t aus. Bei logistischen Gleichungen spricht man von der sensitiven Abh\u00e4ngigkeit der Anfangsbedingungen und l\u00e4sst sich auf die Streck- und Falteigenschaften der Gleichung zur\u00fcckf\u00fchren. Die Entwicklung eines chaotischen dynamischen Systems ist als Folge der Unvermeidbarkeit von Messfehlern bei der Bestimmung des Anfangszustandes nicht vorhersehbar, nicht aufgrund eines stochastischen Verhaltens.<\/p>\n\n\n\n

Strogatz, S. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Perseus Books Group<\/em><\/p>\n\n\n\n

Poser, H. (2012). Wissenschaftstheorie. Eine philosophische Einf\u00fchrung. Stuttgart 2012,5, S. 293\u2013295.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Krabs, W. (1998). Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Feigenbaumdiagramm Das Feigenbaumdiagramm leitet sich aus der logistischen Gleichung ab und bildet eine Periodenverdopplungsbifurkation ab. Bei kleinen Parameterwerten existiert nur ein stabiler Fixpunkt, der am ersten Bifurkationspunkt in einen Orbit aus zwei alternierenden Fixpunkten \u00fcbergeht. Dieser Orbit verdoppelt dann an weiteren Bifurkationspunkten jedes Mal wieder seine Periode (kommt also erst nach 2, 4, 8, etc.<\/p>\n